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Dans cet article, nous établissons les relations fonctionnelles satisfaites entre les fonctions génératrices des cumulants libres et des moments d'ordres supérieurs dans le cadre des probabilités libres. Nous résolvons ainsi un problème ouvert il y a 15 ans par Collins, Mingo,  Śniady et Speicher. Nous proposons également une extension des probabilités libres en genre quelconque, avec une notion de moments et cumulants libres d'ordre supérieur en genre quelconque. Cette extension permet notamment de traiter des modèles de matrices invariants unitaires à tout ordre dans le développement topologique.

Notre approche utilise une transformation impliquant les nombres de Hurwitz doubles monotones, ainsi que des résultats développés par Bychkov, Dunin-Barkowski, Kazarian et Shadrin impliquant le wedge semi-infini.

Les structures combinatoires sur une surface à bords Ʃ, étudiées dans le projet [Teichmüller combinatoire], permettent de définir une fonction de longueur sur les feuilletages mesurés sur Ʃ. Nous montrons que le volume de la boule unité (volume de Thurston des feuilletages mesurés sur Ʃ de longueur inférieure à 1) est une fonction sur l'espace de Teichmüller combinatoire, ce volume étant le pendant combinatoire de la fonction B introduite par Mirzakhani pour les surfaces hyperboliques. De plus, cette fonction descend sur l'espace des modules combinatoire. Nous étudions en détail les propriétés d'intégrabilité de cette fonction contre la mesure de Kontsevich; en particulier ces propriétés diffèrent du cas hyperbolique. 

Nous prouvons la conjecture de Borot--Garcia-Failde (arXiv:1710.07851), selon laquelle les séries génératrices des cartes complètement simples (qui sont des cartes avec des bords disjoints et ne s'intersectant pas) satisfont la récurrence topologique. De surcroît, si la courbe spectrale pour les cartes ordinaires est notée S=(x,y), la courbe spectrale Š pour l'énumération des cartes complètement simples est reliée à S par échange de x et y : Š=(y,x). Pour ce faire, nous utilisons le fait que les cartes ciliées introduites dans arXiv:2105.08035 satisfont la récurrence topologique.

Dans sa preuve de la conjecture de Witten, Kontsevich a défini un modèle de matrices cubique qui admet un développement en série formelle dont les termes ont une interprétation combinatoire en terme de cartes. Nous prouvons que les séries génératrices d'un modèle combinatoire généralisant ces cartes satisfont la récurrence topologique. Nous faisons ensuite le lien avec les nombres d'intersection de la classe de Witten pour les structures de r-spin.

On étudie l'espace de Teichmüller combinatoire, sur lequel on définit des coordonnées de Darboux pour la forme symplectique de Kontsevich. On développe ensuite la récurrence géométrique dans ce contexte, afin de produire des amplitudes invariantes par le groupe des difféotopies pures, et on dérive une formule de Mirzakhani-McShane dans le cadre combinatoire. En guise d'applications de la récurrence, on retrouve la formule de Norbury pour le comptage des points entiers de l'espace des modules combinatoire, ainsi qu'une nouvelle preuve de la conjecture de Witten (théorème de Kontsevich).

Après une étude du flot de redimensionnement permettant de voguer entre le monde combinatoire et le monde hyperbolique, on construit un analogue combinatoire de la fonction de Mirzakhani. Cela nous permet de donner une nouvelle interprétation des volumes de Masur-Veech par le comptage de multicourbes sur les surfaces combinatoires.

Nous nous penchons sur les volumes de Masur–Veech de la strate principale de l'espace des modules des différentielles quadratiques d'aire 1 sur les courbes de genre g avec n singularités. Nous prouvons en particulier que ces volumes sont les coefficients constants de polynômes qui satisfont la récurrence topologique. Pour arriver à ce résultat, nous tirons partie du fait que la récurrence géométrique permet de calculer des statistiques de longueurs hyperboliques de multicourbes.

Publications :

Nous montrons, par deux approches combinatoires différentes, que les séries génératrices des cartes ordinaires peuvent s'exprimer en fonction des séries génératrices des cartes complètement simples introduites par Borot et Garcia-Failde. La relation fait alors apparaître des nombres de Hurwitz doubles strictement monotones. Le résultat est universel dans le sens où il se généralise aux cas des hypercartes et des cartes farcies.

Nous étudions des fonctions de corrélation sur l'espace des graphes de Strebel planaires isopérimétriques muni de la mesure de Lebesgue. En utilisant des résultats de Jenkins-Strebel et de Kontsevich, on obtient une expression close de ces fonctions de corrélation, que l'on encode dans une courbe spectrale dépendant d'un paramètre. Nous étudions alors une limite singulière de ce paramètre, reliée à la limite d'échelle des graphes de Strebel. Nous montrons que dans cette limite, la courbe spectrale est celle du modèle minimal (3,2), réduction de la hiérarchie intégrable KdV. Cela correspond à la gravité quantique à charge centrale nulle.

Nous considérons la mesure de Lebesgue sur les triangulations Euclidiennes plates à n sommets. Une fois plongées dans la sphère de Riemann, on obtient des triangulations de Delaunay, et dans ce contexte, la mesure est Kählerienne. Nous montrons d'abord que la deux-forme de Kähler associée est proportionnelle à la forme symplectique de Weil-Petersson sur l'espace des modules des métriques hyperboliques sur la sphère avec n singularités, et déduisons la classe d'universalité du modèle de gravité quantique que ces triangulations discrétisent. Ensuite, nous prouvons des propriétés locales sur la mesure Kählerienne.